Temel doğrusal cebir dersinde determinantları açıklamanın iyi bir yolu var mı?

[Kemal Ayhan]

Pek çok kolej ikinci sınıf matematik, fen ve ekonomi bölümleri için temel doğrusal cebir dersi sunmaktadır. Böyle bir ders tipik olarak aşağıdaki hususları içeren belirleyicilerle ilgili bir bölümü kapsar:

Herhangi bir satır veya sütunu kullanarak kofaktör genişletme.

Satır işlemlerini gerçekleştirdiğinizde determinantın nasıl değiştiği.

Bir determinantın bir paralelyüzün hacmi olarak görülebilmesi gerçeği.

Gerçek şu kişu ( A B ) = şu ( A ) şu ( B )
.

Cramer kuralı.

Klasik ek kullanılarak bir matrisin tersinin formülü.

Genellikle bu materyalin nispeten hızlı bir şekilde, örneğin bir hafta kadar bir derste ele alınması gerekir.

Sorum şu:

Tüm bu materyali tam olarak açıklayan, belirleyicileri hızlı bir şekilde ele almanın bir yolu var mı?

Deneyimlerime göre, bu materyalin bir kısmı için açıklamalar yapmak genellikle mümkündür , ancak belirleyicilere bakmanın tamamı için basit bir açıklama sağlayacak tek bir yolu yoktur.

 

[Firfilika]

Belirleyici düşünce ekolüne katılıyorum . Temel doğrusal cebir dersinde, özellikle matematikçi olmayanlar için, determinantların ek[1] kadar yararlı olduğunu düşünüyorum. Yine de müfredatta bunlar var, bu yüzden onlara öğretmek zorundayım.

İşte yaptığım şey. Öğrencilere gerçeği söylüyorum: Belirleyiciler eskiden matrislerle hesaplama yapmanın önemli bir parçasıydı ama artık daha iyi yöntemler var, ancak yine de sınavda bazı belirleyicileri hesaplamaları gerekecek. Daha sonra onlara Gauss Eliminasyonunu kullanarak bunları nasıl hesaplayacaklarını ve 2x2 ve 3x3 hilelerini anlatıyorum (bunların hile olduğunu ve 4x4 ve üzeri için böyle bir hile olmadığını vurgulayarak). Zamanı olursa hacimle olan ilişkisinden de bahsedebilirim ama bunu o kadar da önemli görmüyorum çünkü bu noktaya kadar geometriden hiç bahsetmemiş olacağız. Kesinlikle Cramner'ın kuralıyla uğraşmazdım.

Şu anki kursumda belirleyicilere ayrılmış dört saatim var. Yukarıdakiler birden biraz fazlasını alır. Zamanın geri kalanını, öğrencilerin dönem başında sorun yaşadığı konuların üzerinden geçmek gibi daha yararlı şeyler için kullanıyorum.

Aşağıda belirleyiciler çizgisini güçlendirecek birkaç yararlı külçe bulunmaktadır .

1. Efsane: "Belirleyiciler, bir matrisin tersinir olup olmadığını anlamak için faydalıdır."
   Yani teoride belki . Ama pratikte hayır. Determinantını nasıl hesaplarız? Genellikle Gauss Eliminasyonunu kullanarak ancak satır takaslarını ve satır ölçeklerini hatırlayarak. Ancak Gauss Eliminasyonu bize doğrudan matrisin tersinir olup olmadığını söyler.
2. Efsane: "Belirleyiciler özdeğerlerin bulunmasında faydalıdır."
   Tekrar ediyorum, bu teoride doğrudur ancak pratikte değildir. 2x2 ve 3x3'e hızlı bir başlangıç yaparsanız (örneğin bariz bir kök) sorun olmaz. Ama daha yükseğe çıktığınızda şüpheli bir bölgedesiniz.
   Gerçekten de, birkaç yıl önce önemli matematik yazılımlarından birinin polinomların köklerini nasıl bulduğunu araştırdım. Bulduklarım beni şaşırttı ve belirleyicinin tabutuna son çiviyi çaktım. Rastgele bir polinomun köklerini bulmak için bu program, karakteristik polinomu olan bir matris oluşturur. Daha sonra bu matrisin özdeğerlerini bulmak için yinelemeli bir yöntem uygular ve bunları polinomun kökleri olarak döndürür. Bunun, özdeğerleri bulma yöntemi olarak belirleyicileri öğretmenin ne kadar aptalca olduğunu gösterdiğini görmeyi okuyucuya bir alıştırma olarak bırakıyorum.

[1] Bunun böyle bir gidişattaki belirleyicilerle ilgili olduğunu açıkça belirtmek isterim. Bir diferansiyel topolog olarak determinantların diğer alanlardaki kullanışlılığının tamamen farkındayım. Ancak bunları tanıtmanın zamanı temel doğrusal cebir dersinde değil, diğer alanlardadır.

 

[Kemal Ayhan]

Uyarı : Aşağıdakiler lineer cebir dersi vermemiş birinin sözleridir. Her şeyi uygun tuz seviyesinde alın.

Doğrusal cebir dersi boyunca denenecek ve aktarılacak harika bir tema, bazen matematiksel bir nesneyi özellikleri karakterize ederek anlamaya çalışmanın verimli olabileceğidir.

Öğrencilerin muhtemelen ilk doğrusal cebir dersinde görecekleri ilk örnek, matris çarpımı formülüdür. Tanımı formül olarak verirseniz anlaşılmaz olur. Birisi bu korkunç operasyonu neden yapsın ki? Öte yandan matris çarpımını, temsil ettikleri doğrusal haritaların oluşturulması sonucu ortaya çıkan matris olarak tanımlarsanız, bu tamamen motive edicidir. Bu tanım daha az "hesaplamalı" gibi görünse de aslında hesaplama açısından da aynı derecede iyidir.

Belirleyici, onu karakterize eden özellikler aracılığıyla en iyi anlaşılabilecek bir şeye başka bir harika örnek sağlar:

Vektörler için motivasyonla başlayınRN
sıralı bir vektör listesi tarafından yayılan paralel yüzün işaretli hacmini tanımlamak istiyoruz(içinde1,içinde2,...,içindeN)
.

Biz sahip olmalıydık

D (Bu1,Bu2,...,BuN)=1
İki girişi değiştirmek çıkışı olumsuzlamalı (Belirleyici değişkendir )
Determinant her vektör girişinde ayrı ayrı doğrusaldır (Bunun için dikkatli bir şekilde çizilmiş bazı resimler gerekir)
Şimdi onları gruplara ayırın ve bu özellikleri kullanarak bazı determinantları hesaplamaya çalışın. Bildikleri tek değer temel vektörlerin sıralı listesinde olduğundan, temel vektörlere indirgeme çoklu doğrusallığını ve ardından bunları doğru sıraya koymak için alternatif özelliği kullanarak ilerlemeleri gerekir. Örneğin, onların hesaplamasını sağlayabilirsiniz

D ( [23],[45])= D ( 2 [10]+3[01],[45])= 2D ( [ _10],[45] ) +3B ( [ _01],[45])= ( 2 ) ( 4 ) D ( [10],[10] ) +(2)(5)D ( [10],[01] ) +(3)(4)D ( [01],[10])+ ( 3 ) ( 5 ) D ( [01],[01])=2(5)−3(4)=−2
Her adımın belirleyicinin özellikleri tarafından belirlendiği bu tür bir hesaplamanın gerçekten gerekli olduğunu düşünüyorum. Bazı nedenlerden dolayı, bu tür bir hesaplamayı hiçbir doğrusal cebir kitabında görmedim. Determinantın bu özelliklerle karakterize edildiğine dair kanıtın bir parçası olarak genellikle yalnızca genel durumda gösterilir ve öğrencilerin genellikle kanıtları "kapattıklarını" düşünüyorum.

Diğer başlıktaki yorumumda gitmek istediğim kadarıyla "determinantın hesaplanması, onun karakterize edici özelliklerinden açıktır". Bahsettiğiniz her şeyi bir hafta içinde ele almanın muhtemelen biraz fazla olduğunu düşünüyorum. Şu ana kadar yukarıdaki sunum hacim konusunu ve bunların nasıl hesaplanacağını ele aldı. Ayrıca bu özelliklerden açıkça şu sonuç çıkıyor ki, eğer bir vektör diğerlerinin açıklığındaysa determinant sıfırdır. Bu geometrik olarak da açıktır. Bu, karşılık gelen matris birebir değilse determinantın sıfır olması gerektiğini gösterir. Ayrıca sütun işlemlerinin neden determinantı etkilemediğini de gösterir. Cramer kuralı da bu özelliklerin çok kısa bir hesaplamasıdır.

İtiraf etmeliyim ki, bahsettiğiniz diğer konuların (satır işlemleri, kofaktör genişletme ve klasik ek) hepsi bu açıdan biraz zor görünüyor.